圆周率一定是3.14...吗？

作者：$\Delta\delta Delta$
审核：白烟

  曾有一篇名为《勾股：2.013》的科幻小说在多年前的网络上风靡，甚至直至今日也会有人想起这篇文章。作品末尾有一段话引人遐想：

“不要从我们的角度去评价他们的智慧，也许我们的文明，也在某个更大的扭曲时空之中呢——你难道不觉得，圆周率 3.1416 ，也是个非常古怪的数吗？”

  事实上，这篇小说存在的漏洞颇多，但其文学价值不应被否定，它也确实激发了不少人学习科学以及数学的兴趣。直至今日，我们仍能借此为引，来简单科普一下关于圆周率值的问题。

  回首这句令人浮想联翩的话语，圆周率 $\pi = 3.1415926 \dots$ 真的十分古怪吗？这个数字真的是因为扭曲时空才导致的吗？

  两个问题都是 否定 的。实际上，无理数并不应因其没有规律可循就在美学上被人诟病——这也太不公平了。难道有人能给任何艺术总结出来一个规律吗？（场外音：AI绘画！！！这不就是找到了艺术的“规律”才能用机器画出来的吗？） 但定义这些AI的参数也是没有规律的呀？3202年了，神经网络的算法黑箱应该都知道吧？

  第二个问题就更扯了。众所周知，我们的 $3.14\dots$ 是在平面的圆上计算出来的。这个平面是什么？是数学上的二维欧几里得空间，而定义这个空间只需要在实数集里两两取数，并给出计算这些数对 $(x, y)$ 之间“距离”的公式即可。任你时空曲率九曲十八弯，改变的也是物理“平面”：比如生活中我们觉得很平的桌子，其实是弯曲的，只不过时空曲率让它看起来像平的，.etc。但数学上的平面是被定义出来的，现实中存在的一切事物都不能也不可能改变数学概念。

  “解铃还须系铃人”，如果真的想改变圆周率，那我们只能从数学定义上入手。在这里，我们仍然认为接下来的讨论都是在实平面内的圆上进行的，也就是确定点位置的数字只有两个，而且这两个数字都从实数集中取得。那么还有哪里能改动呢？

  没错，别忘了我们还要给出计算“距离”的公式。在读研究生2年级时，我们接触过著名的两点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 之间距离公式：

$d_2 = ((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 )^{\frac{1}{2}}.$

  同时，早在小学1年级老师就已经教过我们计算机中常用的曼哈顿距离(Manhattan Distance)，即两点在竖直方向上的差值加上在东西方向上的差值，写成公式就长这样：

$d_1 = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|.$

  刚听完“无规律不应在美学上被诟病”的你并不是很服气，马上开始找优美的规律了，并且自信满满地给出了关于 $p$ 的距离公式：

$d_p = (|x_1 - x_2|^p + |y_1 - y_2|^p )^{\frac{1}{p}}.$

  对于你这种连猜带蒙的莽撞结论，我只能说…:

  没错，这就是你在幼儿园大班睡过去的那节课老师所讲的内容。这个能够计算距离的函数（泛函），叫做“ $p$ -范数”。

  你接下来要说的是：这个距离公式如何改变圆周率呢？还是看看远处的圆吧家人们。

  更改距离公式后，首先影响到的是所谓“圆”的形状。我们不妨定义圆心在原点，半径取 $1$ ，那么约束圆的方程就是：

$C_p : (|x|^p + |y|^p )^{\frac{1}{p}} = 1.$

  在我们比较熟悉的曼哈顿距离下，“圆”变成谁的形状了呢？

  变成了一个旋转 $45\degree$ 的正方形！按照这个距离定义，它的周长$C_1 = a \times (1 + 1) = 8$，那么圆周率记作$\pi _1 = \frac{C_1}{2} = 4$！不仅不是原先的 $3.14\dots$ ，甚至连无理数都不是，摇身一变成了整数。至此，我们已经成功地解答了标题的问题：圆周率并不一定是 $3.14\dots$ 。

  更进一步地，我们想知道在其它范数下圆周率的值。先前说到的曼哈顿距离是 $p = 1$ 的情况，那 $p$ 可以比 $1$ 更小吗？讨论这件事之前，我们先要回忆被我们抛弃多年的几何学知识：三角形两边之和大于第三边。在这里我们所说的边长是定义在 $p = 2$ 的范数下计算出来的，然而在 $p > 1$ 的情况下，这个几何学常识仍然成立。当 $p = 1$ 时，三角形两边之和等于第三边，我们秉持着“差不多得了”的思想，认为$1$-范数也可以参加party；但是，$p\in (0,1)$ 是不是有点过分了？两边之和比第三边还短，也就是说我直线走到目的地还不如绕路走一圈方便呗？所以在规范的范数里，我们认为 $p ≥ 1$，即范数要满足三角不等式$f(x + y) ≥ f(x) + f(y)$。

  小了不行，看来大家都喜欢大的。如果让 $p$ 越来越大，直到趋近正无穷呢？令 $d = \max \{|x_1 − x_2|,|y_1 - y_2| \}$ ，并回想在语文课上学过的极限知识，显然有：

$d = (d^P)^{\frac{1}{p}} < (|x_1 - x_2|^p + |y_1 - y_2|^p)^{\frac{1}{p}} < (2d^p)^{\frac{1}{p}} = 2^{\frac{1}{p}}d,$

  又因为

$\lim_{p \to \infty} 2^{\frac{1}{p}}d = d,$

  根据夹逼原理，有

$\begin{aligned} \lim_{p \to \infty} d_p & = \lim_{p \to \infty}(|x_1 - x_2|^p + |y_1 - y_2|^p)^{\frac{1}{p}}\\ & = \max{\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|\}}.\end{aligned}$

  意思是，$\infty$-范数下的距离等于竖直方向之差和水平方向之差中较大的那个，就是从 $|x1 − x2|, |y1 − y2|$ 中取较大的值作为距离的值。综上所述，圆的方程如下：

$C_p : \max \{|x|,|y|\} = 1.$

  而根据方程，我们得到的图形如下。

  在$\infty$-范数下，这个“正方圆”（场外音：什么鬼名字）的边长是 $2$ ，则
周长$C_{\infty} = 8$，圆周率 $\pi_{\infty} = \frac{C_{\infty}}{2} = 4$

  等等！你刚才，说了 4 对吧？！ 注意到，在$1$-范数和$\infty$-范数下，圆周率都是 $4$ ；而我们所熟悉的欧几里得空间，也就是$2$-范数的情况下，圆周率等于$3.14\dots < 4$。随着$p$-范数中 $p$ 的变化，圆周率会形成一个关于 $p$ 的函数$\pi (p)$；为了防止和隔壁高斯研究的素数计数函数 $\pi (n)$ 搞混，我们还是记作 $\pi_p$ 吧。坚信美学的你认为，这个函数 $\pi_p$ 一定是连续的，并且是从 $p = 1, \pi_p = 4$ 单调递减，经过 $p = 2, \pi_p = 3.14\dots$ ，到达一个极小值——同时也是最小值，然后再单调递增，一直到无穷远处趋近于 $4$ 。

  不得不说，李云龙说得没错，你又猜对了。并且，你所说的最小值，刚好在 $p = 2$ 时，取到我们熟知的$3.1415926\dots$。接下来的内容比较简单，都是胎教时期耳边重复的一些陈词滥调，大家没兴趣的可以跳过。利用一些数学小技巧，我们可以简单地计算出圆周 $C_p$ 上两个无限接近的点的微元距离：

$\mathrm{d}s = (|\mathrm{d}x|^p + |\mathrm{d}y|^p)^{\frac{1}{p}},$

  则圆周率

$\pi_p = \frac{1}{2}\int\limits_{C_p}(|\mathrm{d}x|^p + |\mathrm{d}y|^p)^{\frac{1}{p}} = \frac{1}{2}\int\limits_{C_p}\left(1 + \vert \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\vert ^p\right)^{\frac{1}{p}}|\mathrm{d}x|.\tag{原式}$

  取第一象限 $y$ 轴和直线 $y = x$ 所夹的 $\frac{1}{8}$ 圆弧，此时 $x ≥ 0, y ≥ 0$，满足方程 $(x^p + y^p)^{\frac{1}{p}} = 1$ ，即 $x^p + y^p = 1$ ，有

$\begin{aligned} \mathrm{d}(x^p + y^p) & = px^{p-1}\mathrm{d}x + py^{p-1}\mathrm{d}y\\ & = px^{p-1}\mathrm{d}x + p(1 - x^p)^{\frac{p-1}{p}}\mathrm{d}y = 0.\end{aligned}$

  一眼整理得

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x^{p-1}}{(1-x^p)^{\frac{p-1}{p}}} = -(x^{-p} - 1)^{\frac{1}{p} - 1}$

  令 $y = (1 − x^p)^{\frac{1}{p}} = x$ ，得 $x = 2^{-\frac{1}{p}}$ 即积分上限。

  代入，则原式 $=$

$4\int_{0}^{2^{-\frac{1}{p}}}\left(1 + |x^{-p} - 1|^{1-p}\right)^{\frac{1}{p}}\mathrm{d}x.$

  $p = 1$ 时，这个积分很显然是 $\pi_1 = 4\int_0^{\frac{1}{2}}(1 + 1)\mathrm{d}x = 4$ 。

  $p = 2$ 时，被积函数经过简单变形，成为大家很熟悉的反三角函数导数，即 $\pi_2 = 4\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x = 4\arcsin x|_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \pi$。

  $p \to \infty$ 时，积分上限趋近于 $1$ ，$x \in [0,1] \Rightarrow \left(\frac{1}{|x^{-p} - 1|}\right)^{p-1} \rightarrow 0$，即被积函数趋近于 $1$ ，$π_{\infty} = 4$。在该情况下，你可以思考一下为什么当初我们不选择第一象限的 $\frac{1}{4}$ 圆弧计算。

提示: 如何处理 $(1-\Delta x, 1]$ 这一段的积分呢？

  好了好了，之前跳过的同学到这里可以停下来了。我们刚刚通过比较轻松愉快的计算，得到了 $\pi_p$ 关于 $p$ 的函数表达式，验证了之前得到的 $p = 1, 2, \infty$ 时$p$-范数下的圆周率。接下来，我们要通过该表达式，得到 $\pi_p$ 的函数图像。然而，取其它值的 $p$ 并不太好人为计算，只能祭出数值积分这个大杀器，利用计算软件逼近的近似数画出如下图像。

  这张图取自 Joseph B. Keller 和 Ravi Vakil 关于$p$-范数下圆周率计算的论文。至于我为什么不自己画，那就得问问神奇的mathematica了。先前计算积分的过程中，mma跑了半个多小时，给了我下面这个结果。

  我：？

  还是直接拿来主义吧。

  从这幅图上我们可以看出，$\pi_p$ 是一个从 $(1, 4)$ 开始递减，在 $p = 2$ 时取得最小值，接着不断增大趋近于 $4$ 的连续函数，这验证了我们之前的猜想。而每一个$p \in [1, 2]$，都有 $q \in [2, +\infty)$，使得 $\pi_p = \pi_q$ 。事实上，只要满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，就有 $\pi_p = \pi_q$ 。关于此，我确信已发现一种绝妙的证法，可惜已经接近尾声，这里空白的地方太小，我还是写到参考文献[1]里吧。

  本次科普，我们不仅找到了改变圆周率的方法，还画出了圆周率变化的函数图像。逐渐理解一切之后，再来回首这些拿着数学定义当噱头胡乱改变的小说，是不是感觉到sometimes naive了呢？

参考文献
[1] Joseph B. Keller and Ravi Vakil, πp, the value of π in ‘p.
[2] C. L. Adler and J. Tanton, π is the minimum value of Pi, College Math. J. 31 (2000)102–106