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基于比较的确定性排序算法在最坏输入下的比较次数下界是 Ω(nlg⁡n)\Omega(n\lg n)Ω(nlgn)，但随机算法在最坏输入下的期望比较次数又如何呢？本文介绍 Yao’s principle，并用它分析随机排序算法的比较次数下界。 作者：silverxz 审核：phy东西 Introduction   基于比较的确定性排序算法在最坏输入下的比较次数下界是 Ω(nlg⁡n)\Omega(n\lg n)Ω(nlgn)，这个结果很著名，《算法导论》等教材和大部分算法课程都有讲述，读者应该清楚（本文默认读者初步学习过算法和概率论，但要求不高。本文遵循算法领域的惯例，lg 以 222 为底）。   但是，对于随机算法来说，它在最坏输入下的期望比较次数又如何呢？   倘若读者完全没有了解过随机算法相关的知识，可能会觉得允许随机性也不会让算法神奇地变好。不过世界上的确存在一些神奇的随机算法。   排序算法中的快速排序本身就是一个例子。普通的快速排序若按固定规则选择主元，其在最坏输入下的复杂度可以达到 Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)；随机选择主元则能在最坏输入下保持期望 O(nlg⁡n)O(n\lg n)O(nlgn) 的复杂度。当然，这个例子可能不够神奇，毕竟我们还有一堆其他的 Θ(nlg⁡n)\Theta(n\lg n)Θ(nlgn) 排序算法。一个更神奇的例子是 Freivalds 算法。它虽然与排序问题无关，但非常简洁巧妙，我们简单介绍一下。这一算法意在解决以下问题。 问题：给定三个 n×nn\times nn×n 矩阵 A,B,CA,B,CA,B,C，判断 ABABAB 是否等于 CCC. 换言之，检验矩阵乘法的结果是否正确.   最直接的做法当然就是直接把 AAA 和 BBB 乘起来，再去判断 ABABAB 是否等于 CCC. 这一方法的计算代 ...

矿泉水放进冰箱里，到底是横着放还是竖着放冷得快？从感觉上来说，横放的水与冰箱的接触面积更大，它会冷得更快吗？带着这个问题看完本文吧！ 作者：锅炉-251 审核：薛定谔的猫 序言   假如把一瓶常温矿泉水放进冰箱，想让它尽快变凉，你会怎么放？很多人可能会凭直觉回答：“横着放吧，感觉和冷空气接触面积更大。”而另一些人则认为：“竖着放更好，因为冷空气从上往下走。”   这个看似简单却众说纷纭的生活问题，其实可以用传热学中的一个重要概念——自然对流来解释[1]。 图 1 横着放还是竖着放对自然对流有利？ 水在冰箱里是怎么冷却的？   一瓶水放进冰箱后，热量要从水里“跑到”冰箱空气中去，和把大象装进冰箱一样，大致要经过三步： 瓶内的水传递热量给瓶壁； 热量从瓶壁内侧传递到瓶壁外侧； 瓶壁将热量传递给冰箱中的冷空气。   在这三个步骤之中，第一步有一个不容忽视的现象：瓶子里面的水并不是静止不动地降温，而是会自行流动。虽然我们日常中把水假设为密度不变的流体，但在静止的瓶子内，细小的密度变化也会带来驱动力。水在遇冷降温时，密度变大，冷水往下流动，而还未冷却的水温度稍高，密度相对较小，则往上流动。这样一来，瓶内就会形成一种不靠泵、不靠风扇、完全由温差驱动的流动，这就叫做自然对流。所以，水冷得快不快，不只是看瓶子外面冷不冷，还要看瓶子里面的水能不能形成有效的循环流动。 如何分析自然对流的强度   在开始分析前我们要先对分析的物理模型做一些简化，忽略对问题分析不重要的现象，更关注我们分析的现象： 模型不考虑与冷板的热传导接触，意味着瓶子的冷却仅由空气流动驱动； 冰箱内无强制对流，意味着冰箱里没有风扇等设备驱动空气流动。   接下来让我们看向自然对流的影响因素。水在温差驱动下会产生循环，其本质原因是密度变化，也可以理解为浮力的变化。影响自然对流的两个主要因素分别是： 浮力 ...

数学并不总是从一开始就严谨。历史上，无论是伯特兰悖论，还是围绕无穷小量的争论，都曾暴露出定义模糊带来的不确定性。为回应这些问题，数学逐步走向形式化表达。 作者：silverxz 审核：ΔδDelta\Delta\delta DeltaΔδDelta 引言：先问「是什么」   无论是学习数学还是解决数学问题，“先问「是什么」”都是很自然的想法。   比如刚开始学习集合的高中生，首先需要知道集合是什么，哪怕只是朴素地说一句“集合就是把一些对象放在一起构成的整体”。只有先知道它是什么，才能继续回答关于集合的其他问题，或继续学习之后的映射等概念。   到了学习复数的时候，也得先知道“复数就是形如 x+iyx+iyx+iy 的东西，其中 x,yx,yx,y 是实数”。紧接着再问，iii 是什么？这里的加号意味着什么？如此追问，直到“复数是什么”这个问题被回答清楚，才能进行后续的复数模长等的学习。如果不把「是什么」回答清楚，学生将始终云里雾里，自然也就无法继续学习下去。   不过，到底怎样才算是 “把「是什么」回答清楚 ” 呢？一般来说，这个问题似乎不需要回答：人类自己有思维能力和理解能力，自己懂了，那就算是回答清楚了；而自己究竟懂没懂，自己当然知道……真的是这样吗？   很遗憾，不完全是。像自然数、实数、简单的概率和“随机”这样的概念，它们和生活联系紧密，属于常识概念。很多人会觉得自己已经弄得很清楚了，但这有时是幻觉。我们考虑法国数学家伯特兰 (Joseph Bertrand, 1822-1900) 提出的经典概率悖论： 给定一个半径为 rrr 的圆，随机选取圆中的一条弦。问：这条弦的长度比圆的内接等边三角形的边长（为 3r\sqrt 3 r3​r）更长的概率是多少？   圆周上的两个点确定一条弦。出于旋转对称性，我们不妨先固定弦的一端为圆上的任意一点，再随机选取另一端， ...

从蒸汽机时代到核电站，人类折腾了几百年竟然还在烧开水？光伏、风电、燃料电池、磁流体发电……这么多听起来更高级的技术，为什么到今天都没能把这壶烧了三百年的水替换掉？ 作者：锅炉-251 审核：赖渊 序言   常见到有人吐槽：人类的发展就是烧开水和扔石头。前者意思是现代电力的生产方式主要依赖水蒸气为工质的热力循环方式发电，后者是人类的攻击方式主要依赖质量投射来造成杀伤。本文我们将聚焦到能源利用中，从能量的来源、能量的使用方式和效率上限，来探究从第一次工业革命至今几百年时间，人类为什么还依赖“烧开水”来制造动力与电力。 能怎么发电？   让我们先检查下我们现有的发电路径，常用的发电路径有下面几条： 热->功->电热力循环发电：系统首先产生热量，然后将热量转化为各种形式的功，最后通过做功发电。 动能->功->电：这类系统的代表是风力和水力发电等采用流体机械将流体的动能转换为功再进行发电的方式。 光->电：光伏是这类发电方式的主要代表，通过光电效应将光转化为电能。 热->电：这类发电方式的代表是核电池，通过热电效应将热能转化为电能。 化学->电：燃料电池和电化学电池是这类发电方式的主要代表，通过氧化还原反应将化学能转化为电能。 直接利用电能：磁流体发电是这种方法，通过霍尔效应利用等离子体的电荷量进行发电。 为什么选择了热力循环？   在介绍热力循环之前，让我们首先看看其他循环的缺点。   光伏发电、风电和水电等新能源发电方式在能源系统的占比逐渐提高，但是仍然无法取代热力发电。这是因为对于光伏发电和风力发电，天气的波动性（云层的变化，风力的变化）导致功率出力变化极大，对于强烈依赖稳定性的电网造成了极大的冲击。因此，对于新能源高渗透率的电网需要储能、备用容量、输电扩容、灵活调度与市场机制配套，造成整套系统的配套成本高。此外，设备本 ...

作者：时光 审核：阿氯 从鼓起的手机后盖说起   一天晚上，笔者收到了朋友发来的一张图片，表示自己的手机后盖可能因为电池“鼓包”被顶碎了，整个画面惨不忍睹。 音容宛在 图片来源：作者友人提供，未公开资料   人们对这一幕其实并不陌生。2017年，苹果的iPhone 8 x系列手机上市仅一周，全球各地就出现了多起新机刚拆封或充电时屏幕被鼓包的电池顶开弹出的事故。 “推特”（现更名为“X”）社交平台上用户发表的内容 图片来源：Magokoro0511. 推文截图[EB/OL]. X (原Twitter), 2016-09-25[引用日期：2026-03-03]. 膨胀电池实拍图 图片来源：Magokoro0511. 推文截图[EB/OL]. X (原Twitter), 2016-09-25[引用日期：2026-03-03].   现代手机、电脑、平板等设备通常采用软包锂离子电池（锂聚合物电池），典型的软包锂离子电池由三层核心组件构成：正极、负极和隔膜，在结构上非常紧凑。其中，正极是涂有锂金属氧化物（如钴酸锂）的铝箔，负极是涂有石墨的铜箔，它们之间用一层允许锂离子通过的微孔隔膜隔开，整个结构浸润在电解液中。 锂离子电池结构示意图（从左至右：正极、隔膜、负极） 图片来源：Shi A. One Major Way Smartphone Batteries Can Catch Fire—and How to Prevent It[EB/OL]. iFixit, 2022-11-17[引用日期：2026-03-03].   电池充电时，在外部电流的驱使下，锂离子脱离正极的晶格中（化学上称为脱嵌），游过中间的电解质，精准地钻进负极的晶格间隙里（称为嵌入）。此时，锂离子与碳原子紧密结合，形成了稳定的LiC₆结构；放电时，锂离子又从负极脱嵌，重新嵌入到正极的晶格间隙中。锂离子在固 ...

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作者：时光 审核：梅世达 出版与编辑 出版，全称为 “出版活动”，是对作品进行选择、编辑、复制并向公众传播的专业活动。它涵盖了从原始稿件到最终出版物的一系列复杂过程，目的是将有价值的信息传递给读者。 编辑则具有双重身份，既可以是一个动词，表示对资料或已有作品进行整理、加工的过程，也可以是一个名词，指代从事组织、采录、收集、整理、纂修、审定各种精神产品及其他文献资料并使其传播展示于社会公众的工作者，例如出版社编辑。编辑是出版工作的重要组成部分，是出版物复制和发行的前提，其主要目的在于生产出版物的精神文化内容，是对作品进行策划、组织、审读、选择和加工的专业精神生产活动。 编辑的工作职责 编辑的工作职责主要包括以下三点： 保证图书质量（确定下限） 这是编辑工作的基础要求。编辑需要对稿件进行严格的审读，检查内容是否存在错误、遗漏或不合理之处，确保图书在政治性、思想性、科学性和知识性等方面符合标准，避免出现低级错误，为读者提供准确可靠的信息。 促进图书品质提升（拉高上限） 除了保证基本质量外，编辑还应发挥专业素养，对作品进行深入挖掘和精心加工。通过优化结构、润色文字、提升逻辑性等方式，使图书在内容上更具吸引力和可读性，帮助作者更好地表达思想，提升图书的整体品质和价值，使其在市场上更具竞争力。 保证出版时效 在保证质量和品质的前提下，编辑需要合理安排工作进度，确保图书能够按时出版发行。这要求编辑具备良好的时间管理能力和协调能力，与作者、排版人员、印刷厂等各方密切配合，避免因自身工作延误导致出版周期延长，以满足读者的期待和市场需求。 出版流程 一本图书的出版，一般经历了以下几个阶段： 选题设计 --> 三审制度 --> 编加整理 --> 发排发稿 --> 三校一读 --> 书号申请 --> 质检下印 --> 营销发行 --> ...

在万物生长的四月，我们迎来了第30个世界读书日。书籍是探索未知的灯塔，A君发起的“科普书单大征集”活动收获了不少宝藏科普读物，快来查收这份由大家共建的科普书单吧！ 《时间简史》 史蒂芬·霍金 这本书以通俗易懂的语言介绍了宇宙起源和人类命运等前沿科学知识。从黑洞、大爆炸到时间旅行，霍金用生动的文字带领读者探索宇宙的奥秘，让我们了解到宇宙的神奇与浩瀚。无论是对科学感兴趣的初学者，还是有一定知识储备的读者，都能从中获得启发。它不仅能让我们增长科学知识，更能激发我们对宇宙的好奇心和探索欲，引领我们思考人类在宇宙中的位置和意义，是一本极具阅读价值的科普佳作。 《对称与不对称》 李政道 以通俗语言阐释物理学核心概念“对称与不对称”，并延伸至艺术、文学与东方智慧。书中提出“对称展示宇宙之美，不对称生成宇宙之实”，强调对称性是自然界的基本规律，而对称性破缺则是宇宙演化与生命起源的关键。 书中介绍了高能粒子物理的基本概念, 探讨了加速器在推动科学发现中的重要作用, 阐明了理论物理和实验物理的互相支持, 展望了对于真空的未来研究。 《上帝掷骰子吗》 曹天元 本书以武侠小说的叙事张力重构量子论百年激荡史。作者曹天元用"光的波粒战争"等鲜活比喻，将薛定谔方程、不确定性原理等抽象概念化作可触摸的思想实验。书中重现了爱因斯坦与玻尔跨越三十年的世纪论战，揭开了量子纠缠从哲学思辨到技术验证的完整链条，更预言了量子计算改写密码学规则的未来图景。全书以东方思维解读西方科学革命，既保留《费曼物理学讲义》的智识深度，又兼具《人类群星闪耀时》的史诗感，堪称科普写作的范式革新。当你读到惠勒延迟选择实验揭示"现在可以改变过去"，定会重新思考因果律的本质。 《月球车与火星车》 贾阳 本书不仅详细介绍了玉兔1/2号和祝融号探测车的细节，还穿插讲述了大量有趣的研发 ...

HyKGE框架简介 本文基于由北京大学计算机学院Xinke Jiang、Ruizhe Zhang、Yongxin Xu、Rihong Qiu等作者共同撰写的论文《HyKGE: A Hypothesis Knowledge Graph Enhanced Framework for Accurate and Reliable Medical LLMs Responses》。 HyKGE代表了知识图谱（KGs）与检索增强生成（RAG）技术结合的最新进展。通过利用大型语言模型（LLM）的深度语义理解与知识生成能力，结合知识图谱丰富的结构化信息，HyKGE能够显著提高医学信息检索的效率，并确保回答的精确度。这一突破性成果为医学LLMs的发展开辟了新的视野，同时也为未来在更广泛的应用场景中利用大型语言模型和知识图谱提供了宝贵的经验和启示。 RAG面临的技术挑战与解决方案 在传统的检索增强生成（RAG）方法中，主要有如下不足： 检索粒度单一 文档检索通常基于整个文档或段落，检索粒度较粗； 全局语义理解能力有限 基于关键词的文档匹配忽略了文档间的深层语义关系； 缺乏推理能力 文档型数据库无法实现复杂查询与推理。 而面对这些问题，HyKGE框架则充分发挥了LLMs和KGs的互补优势。大型语言模型（LLMs）以其强大的通用知识和语言处理能力而闻名，但它们在特定领域的知识准确性和可靠性方面存在局限性。与此同时，知识图谱（KGs）以其结构化和准确性而受到重视，但它们缺乏处理自然语言的能力。HyKGE框架的提出，正是为了充分发挥LLMs和KGs的互补优势，以专业知识图谱作为检索数据源，提供包括实体信息、实体关系、推理路径在内的多粒度信息增益。 HyKGE框架的核心特性 HyKGE框架通过以下几个关键技术挑战的解决方案，实现了对LLMs性能的显著提升： 用户查 ...