你似乎曾看到一个结论，告诉你“自然数和偶数一样多”。但事实真的如此吗？
从伽利略悖论到康托原则，本文将带你走进一场关于“无穷”的哲学争论。

作者：silverxz
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无穷集合的大小应该怎么比较呢？比如，自然数和偶数，谁更多？

读者或许已经从许多科普中看到过“结论”：自然数和偶数一样多。证明是这样的：考虑从自然数集到偶数集的映射 $n\mapsto 2n$ ，它给出了全体自然数和全体偶数之间的一个一一对应关系，每个自然数都对应于一个偶数，且每个偶数也被唯一的自然数对应。

为了避免读者把“一一”看成破折号，我们之后使用一一对应的同义词，“双射”，倘若读者看这个词有点迷糊，也可以在头脑中翻译回一一对应。上面定义了自然数集到偶数集的一个双射。证明称，由于它们存在双射，自然数和偶数一样多。

类似地，还可以得到自然数、偶数、奇数、整数、质数……全都是一样多。在今天，这种说法越来越频繁地出现在公众视野中，几乎要变成一种常识了。比如在游戏《崩坏：星穹铁道》中，就出现过询问自然数和质数谁更多的题目，而标准答案是一样多[1]。

然而，真的是这样吗？

回顾整个证明，它的论证是这样的：

自然数集和偶数集之间存在双射；
若两个集合之间存在双射，则它们的元素数量一样多；
所以自然数和偶数一样多。

第一条是我们已经证明了的数学事实，没有问题。问题出在第二条：为什么两个集合存在双射，它们的元素数量就一样多？

这个问题不是某条数学定理能回答的，因为它其实是在问，对于无穷集合而言，你怎么定义什么叫“元素数量一样多”？哪个定义刻画了你心中的一样多？——以及，你心中的“一样多”是什么？这实际上已经是一个数学哲学问题，而这就是我们今天要讨论的。为此，我们一起来看一个“古老”的例子。

通常认为，无穷集合理论的发展很大一部分归功于十九世纪的康托 (Georg Cantor, 1845-1918)。但是，类似的问题其实很早就已经被思考过了。最著名的一个例子由伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 提出，如今称为伽利略悖论。他考虑的不是自然数与偶数，而是自然数与平方数[2, pp. 27-29]。

康托（左）与伽利略（右）：面对无穷集合，他们给出了不同的答案

设 $\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \dots\}$ 是自然数集， $S = \{0, 1, 4, 9, \dots\} = \{n^2: n\in \mathbb{N}\}$ 是平方数集。可以观察到以下三条性质：

$\mathbb{N}$ 与 $S$ 之间存在双射；
$S$ 是 $\mathbb{N}$ 的一部分；
$S$ 在 $\mathbb{N}$ 中越来越“稀疏”。

第一条性质就像刚才自然数集到偶数集的双射一样，函数 $n\mapsto n^2$ 给出了自然数集 $\mathbb{N}$ 到平方数集 $S$ 的一个双射。

第二条性质也是显然的， $S$ 当然是 $\mathbb{N}$ 的一部分。更准确地说， $S$ 是 $\mathbb{N}$ 的真子部分，也就是说，存在不是平方数的自然数——这是当然的。

第三条性质则是基于第二条性质的一个更深入的观察。若不考虑 $0$ ，前 $100$ 个数中有 $10$ 个平方数，占比 $1/10$ ，而前 $10000$ 个数中有 $100$ 个平方数，占比就仅有 $1/100$ 了。

一般地，前 $n$ 个数中，有多少个平方数呢？有 $\lfloor \sqrt n\rfloor$ 个，这个记号表示舍去 $\sqrt n$ 小数部分，即向下取整。也就是说，前 $n$ 个数中平方数的“密度”是 $\frac{\lfloor \sqrt n\rfloor}{n} \leq \frac{1}{\lfloor \sqrt n\rfloor}$ . 随着 $n$ 的增加，这一密度逐渐趋于 $0$ ，这也就是为什么我们说平方数在自然数中越来越稀疏。

好啦，基于以上的观察，你认为自然数和平方数哪个更多呢？

一种答案认为它们一样多。原因是，两个有限集合的元素数量相等，当且仅当它们之间存在双射。如果我们希望无限集合也保持这个性质，根据前述的性质 1，就会得到一样多的答案，哪怕它们有包含关系。

基于这种想法定义的“一样多”称为康托原则 (Cantor’s principle)，从名字你也能看出，康托是这一答案的典型支持者[3, pp. 883-884, 922]。

另一种答案认为自然数比平方数更多，与上一答案对立。支持它的原因通常是，对于有限集合来说，部分总是小于整体。如果我们希望无限集合也保持这个性质，那么根据前述的性质 2，平方数必须也比自然数更少。性质 3 则进一步强化了这种感觉，平方数越来越稀疏，在直觉上它的数量是远小于自然数的。

基于这种想法定义的“一样多”称为部分-整体原则 (part-whole principle)。这一答案的典型支持者有波尔查诺 (Bernard Bolzano, 1781-1848)[3, pp. 266-268]。波尔查诺这个名字读者可能并不熟悉，他在分析学、无穷、逻辑学、哲学（尤其是数学哲学）等方面的许多成果和思想都领跑甚至远远超越时代，可惜因为种种原因没有得到传播和重视，以至于其成果常在百年后甚至更晚才被世人正视，“原来类似的工作已经被波尔查诺做过了”。他也因此没能在数学史上取得应有的影响力与声誉。

伯纳德·波尔查诺（Bernard Bolzano，1781—1848）

这是两个对立的答案，似乎我们只能在其中二选一？并非如此，还有第三种答案，那就是不做这个选择。上述的两种答案对应的性质在有限集合上都很自然，但无穷集合不能同时保持这两种性质，所以必须抛弃一个。然而，鱼我所欲也，熊掌亦我所欲也，二者不可得兼……那我为什么非要选择一个，而不是宣称这个选择题本身有问题？这就是伽利略的答案，他说：我们只能得出“它们的数量都是无穷”的结论，平方数有无穷多，自然数也有无穷多，谁也不比另一个更少。“相等”、“更大”、“更小”这样的性质仅适用于有限量之间，不适用于无限量之间。

这一例子就是伽利略本人给出的，所以他当然完全清楚这两个集合之间存在双射，也完全清楚一个包含另一个。这些数学事实他都清楚，然而他拒绝用这些事实给出无穷集合之间的大小关系的判断，他认为无穷集合是不能谈论谁的元素更多的。

好了。现在我们收集到了三种不同的答案。谁是正确答案？

——没有一个绝对的正确答案。它们只是不同的数学哲学观点，各有各的道理。更关键的是，再次强调：不论是哪种答案，上面提到的三条性质都仍然成立，数学事实没有发生任何改变，因此也不能在数学上判定为错误。

接下来，我们简单看看这些观点被支持或否定的理由都有什么，这样，你就可以选择你更认同的那个观点。限于篇幅、文章预期受众的背景知识、以及笔者本人的水平，此处只能介绍那些最朴素、基本的观点，远远不是全部。

先来看康托原则。支持它的一个观点可以是出于朴素的审美：集合元素的“数量”应该是与元素排列顺序无关的一个不变量，而双射本来也可以理解为是一种“重新排序”，因此认为存在双射的两个集合具有相同的“数量”也合情合理。这种不变量在数学中称为集合的基数 (cardinality)，存在双射的两个集合有相同的基数。

相应地，这种观点也会反对“自然数的数量是偶数的两倍”的说法。因为，只需要重新排列自然数为 $0, 1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, \dots$ ，即，按偶数-奇数-奇数的方式枚举自然数，就会显得自然数的数量是偶数的三倍了。这意味着这里的数量关系会随着排列方式改变，所以会被这种观点否定。

进一步，基于康托原则所发展出的理论也堪称瑰丽而奇异。直接讲解这一理论超出了本文的范围，请原谅笔者词穷，不能用语言展现其优美。虽然不能断言这种美学因素是否影响了康托的观点，但康托本人无疑对这一理论（至少是对理论的预想图）非常满意，且欣赏这种优美[4, p. 67]，无怪乎他会认为这是对有限数量的唯一且必要的推广[3, p. 922]。

在今天，支持康托原则可能还有一些现实因素。如今的大部分数学都基于 ZFC, NBG 等源自康托工作的集合论。虽然数学工作者的确可以将其视为工具使用，而不必采纳康托的数学哲学观点，但这些工具的广泛使用多少还是会潜移默化地影响人们的朴素观点。尤其是那些尚未思考过这些问题的人，由于最先接触到这种工具，或许就会形成一种默认的康托式观点。不过，这一段属于笔者的主观猜测，没有经过统计调查。

再来看部分-整体原则。支持它的理由可以很简单，“我就是觉得偶数比自然数少，咋了？”当然可以，这种直觉完全正当。而且再次澄清，这不影响你和支持康托原则的人使用同样的数学工具、谈论同样的数学。你完全可以在支持部分-整体原则的同时，仍然使用从双射发展出来的基数，只不过你不认为基数是对数量这一概念的推广。

此外，与部分-整体原则相契合的观点，也能发展出重要的数学工具。比如，从双射的角度看，偶数、平方数、素数的集合都与自然数集存在双射。然而在前 $n$ 个自然数中，偶数大约有 $n/2$ 个，平方数大约有 $\sqrt n$ 个，而素数大约有 $\frac{n}{\log n}$ 个，它们表现出的性质是截然不同的，“存在双射”对这些性质的研究无能为力。

更进一步，部分-整体原则也能发展出相当充分的理论，即 numerosity. 这个词甚至没有稳定的中文译名，可见这一理论的小众。但无论如何，它构成了对部分-整体原则的一个比较强的维护，证明其能够成为一种相对完善的观点。不过，对部分-整体原则的认可与坚持也不需要预先搞懂 numerosity；不如反过来说，正是因为这一原则有可以被认可和坚持的理由，才能发展出 numerosity.

最后，我们再来看看伽利略的观点。这没有太多可以论述的，我们前面已经基本介绍完了，伽利略在两难境地中选择直接拒绝了问题本身。或许有读者觉得，这是一个回避问题、和稀泥的观点，其实不然。因为，“不能谈论大小关系”是比“不知道”要强得多的主张，伽利略秉持的是前者，是一种直截了当的拒绝，完全没有回避它。

不过，对于那些学习数学但对这些数学哲学问题不甚感兴趣的人来说，秉持一个更弱的、和稀泥的主张也是不错的选择。你完全可以说，“我不知道基数是不是对数量关系的真正推广，也不知道部分-整体原则是否值得坚持，但是我也不在乎。反正，我还是可以使用那些数学工具。当我需要双射和基数的时候，我就使用它们；当我需要密度、具体计数、或者测度等等时，我也自如地使用它们。”这的确是一种回避，但也的确几乎不会对数学学习有什么不利影响。

现在我们稍作总结，希望你没有被前面的内容搞晕。

自然数和偶数一样多吗？

你可以回答：一样多，因为它们之间存在双射

——虽然，偶数只是自然数的一部分。

你可以回答：偶数更少，因为偶数只是自然数的一部分

——虽然，它们之间存在双射。

你也可以像伽利略那样回答：我认为它们不能比较数量关系。

或者你也可以坦然地说，“我不知道”，这没什么丢人，反倒可能是深度思考后的答案。

本文想表达的正是，“集合之间是否存在双射”与“集合之间是否一样多”是两件不同的事。前者是一个数学问题，而后者是一个数学哲学问题。实践中，的确有些数学家也会把两者混为一谈，那可能是他的数学哲学观点，或者是没想太多的口语表达。当他们谈到无穷集合的大小(size)的时候，你应该猜到他们极大概率说的是基数(cardinality)，但那并不意味着它们真的是一回事。

这方面的混淆尤其会给初学者带来困扰。一方面，部分-整体原则是他们长期具备的直觉；另一方面，教导者又常常不加解释地告诉他们“双射就是一样多”，任由两件矛盾的事情在头脑中发生冲突，这很不好。

还有一些初学者，被灌输了“双射就是一样多”的律令，自己又不加思考，背诵下来当作真理，有时还会卖弄这些“知识”，甚至于笑话那些还不懂这些“知识”的人，笔者是有见过这种情况的。这并不完全是那些初学者（往往是小孩子）的错误，更多是教育者的失职。

愿读过本文的读者能更透彻地看待这个问题，能有更多的谦逊与包容，使那些觉得偶数的数量比自然数更少的人不会再被判为错——纵然它们存在双射，有相同的基数。

References

[1] 在科学的大门前•其一. 崩坏：星穹铁道WIKI_BWIKI_哔哩哔哩. July 22, 2026. URL: https://wiki.biligame.com/sr/%E5%9C%A8%E7%A7%91%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%A4%A7%E9%97%A8%E5%89%8D%E2%80%A2%E5%85%B6%E4%B8%80 (visited on 09/07/2026).

[2] Alessandro De Angelis. Galileo Galilei’s “Two New Sciences”: For Modern Readers. History of Physics. Cham: Springer International Publishing, 2021. ISBN: 978‑3‑030‑71951‑7 978‑3‑030‑71952‑4. DOI: 10.1007/978-3-030-71952-4. URL: https://link.springer.com/10.1007/978-3-030-71952-4 (visited on 09/07/2026).

[3] William Bragg Ewald, ed. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. 2 vols. Oxford: Clarendon Press, 1999. 1340 pp.

[4] Michael Hallett. Cantorian Set Theory and Limitation of Size. Reprint. Oxford Logic Guides 10. Oxford: Clarendon Pr, 1988. 343 pp. ISBN: 978‑0‑19‑853179‑1 978‑0‑19‑853283‑5.