序言

假如把一瓶常温矿泉水放进冰箱，想让它尽快变凉，你会怎么放？很多人可能会凭直觉回答：“横着放吧，感觉和冷空气接触面积更大。”而另一些人则认为：“竖着放更好，因为冷空气从上往下走。”

这个看似简单却众说纷纭的生活问题，其实可以用传热学中的一个重要概念——自然对流来解释[1]。

图 1 横着放还是竖着放对自然对流有利？

水在冰箱里是怎么冷却的？

一瓶水放进冰箱后，热量要从水里“跑到”冰箱空气中去，和把大象装进冰箱一样，大致要经过三步：

瓶内的水传递热量给瓶壁；
热量从瓶壁内侧传递到瓶壁外侧；
瓶壁将热量传递给冰箱中的冷空气。

在这三个步骤之中，第一步有一个不容忽视的现象：瓶子里面的水并不是静止不动地降温，而是会自行流动。虽然我们日常中把水假设为密度不变的流体，但在静止的瓶子内，细小的密度变化也会带来驱动力。水在遇冷降温时，密度变大，冷水往下流动，而还未冷却的水温度稍高，密度相对较小，则往上流动。这样一来，瓶内就会形成一种不靠泵、不靠风扇、完全由温差驱动的流动，这就叫做自然对流。所以，水冷得快不快，不只是看瓶子外面冷不冷，还要看瓶子里面的水能不能形成有效的循环流动。

如何分析自然对流的强度

在开始分析前我们要先对分析的物理模型做一些简化，忽略对问题分析不重要的现象，更关注我们分析的现象：

模型不考虑与冷板的热传导接触，意味着瓶子的冷却仅由空气流动驱动；
冰箱内无强制对流，意味着冰箱里没有风扇等设备驱动空气流动。

接下来让我们看向自然对流的影响因素。水在温差驱动下会产生循环，其本质原因是密度变化，也可以理解为浮力的变化。影响自然对流的两个主要因素分别是：

浮力作用
冷水密度增大下沉，热水密度较小上升，从而驱动流体上下循环。浮力越大，水内部的循环流动就越明显。
粘性阻力
任何流动都受到流体内部的粘性影响，阻碍流动的进行。这种阻碍越强，自然对流的强度就越弱。

为了判断这两种因素在自然对流中哪个占主导，我们引入了格拉晓夫数（Grashof number, Gr）

$Gr = \frac{g\beta\Delta T L^3}{\nu^2}\tag{1}$

这个式子初看有点吓人，但它的物理意思并不复杂，它本质上是在比较两种作用谁更强：一种是浮力作用：冷了重，热了轻，于是流体开始上下运动；另一种是黏性阻力：流体内部会阻碍流动。因此可以简单理解为： $Gr \sim \frac{\text{浮力驱动}}{\text{黏性阻力}}$ $ 。

在公式中，各个符号代表的物理意义如下：

$g$ 为重力。没有重力驱动，浮力对流就很弱。
$\beta$ 为体膨胀系数，表示流体对温度变化有多敏感。 $\beta$ 系数大时，温度对密度的变化更明显。
$\Delta T$ 为温差，表示温度对浮力的驱动强度大小。
$L$ 为特征长度，可以理解成流体有多大的空间来建立循环。
$\nu$ 为流体运动粘度，衡量了流动阻碍力的大小。

其中最值得注意的是：

$Gr \propto L^3\tag{2}$

这意味着空间越大，浮力的驱动能力越强，表明对流就越活跃。

在评估完自然对流的影响因素后，我们接下来要考虑自然对流能否有效影响传热。因此我们定义瑞利数（Rayleigh number, $Ra$ ）：

$Ra = Gr \cdot Pr\tag{3}$

$Pr$ 为普朗特数（Prandtl number），计算公式为： $Pr = \frac{\nu}{\alpha}$ 。
$\alpha$ 为热扩散率，表征了热量靠分子扩散传开的能力。

瑞利数、普朗特数和格拉晓夫数一样是无量纲数，其中普朗特数衡量了流体的流动能力扩散效果（或者说流体动量的扩散效果）和热量扩散效果的强度大小。普朗特数越大，流体的动量扩散相比于热量扩散就越显著。在构造了普朗特数后，就可以构造瑞利数的公式：

$Ra = \frac{g\beta\Delta T L^3}{\nu \alpha}\tag{4}$

而瑞利数的物理意义是：温差产生的浮力，能否克服流体的黏性和热扩散，从而使自然对流得以真正建立。

如果 $Ra$ 小，流体即使有冷热差别，也不容易形成大规模循环；

如果 $Ra$ 大，流体内部就更容易形成上升和下沉流动，传热效率会更快。

总结这一章的内容，我们构造了三个准则数，其中格拉晓夫数关注流不流得起来，瑞利数关注这种自然对流能不能有效发展并加强传热。

为什么竖着放通常比横着放冷得更快？

让我们放下繁杂的公式回到问题本身，设想一瓶普通矿泉水瓶，其高度通常明显大于它的直径。

当瓶子的长轴与重力方向一致时，水在瓶内更容易沿“高度方向”开始运动，形成循环：靠近冷瓶壁的水先降温并下沉，而中间较热的水上升补充——从而形成一个完整的循环流动。

这时，参与自然对流的特征长度更接近瓶高 $H$ 。

如果瓶子横着放，虽然仍存在冷热密度差，但能够支持上下循环的高度就不再是整瓶高度，而更接近瓶子的直径 $D$ 。根据瑞利数可得： $H^3 > D^3$ ，也就是说，竖放时的格拉晓夫数和瑞利数通常更大。这意味着瓶内自然对流更强，水体内部混合更充分，中心区域的热量也能更快被带到冷壁附近。结果就是——竖着放冷却更快！

图 2 自然对流过程数值结果[3]

总结

除了冰箱里的水，自然对流在众多场景普遍存在，例如手机和户外基站等无风扇的产品散热依赖的正是自然对流。研究自然对流散热问题能更好的指导我们设计改进电子产品，提高寿命和可靠性。

参考资料

陶文铨. 传热学:第5版. 高等教育出版社[M]. 2019, 2019.
Bergman T L, Incropera F P. Fundamentals of heat and mass transfer. 7th ed. Hoboken, NJ. 2011. Wiley, 2011.
Borah R, Gupta S, Mishra L, et al. Heating of liquid foods in cans: Effects of can geometry, orientation, and food rheology[J]. Journal of Food Process Engineering, 2020, 43(7): e13420.